Phương pháp giải phương trình logarit

     

Bài viết phân dạng với hướng dẫn cách thức giải các dạng toán phương trình logarit với bất phương trình logarit trong chương trình Giải tích 12 chương 2, kỹ năng và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu lũy vượt – nón – logarit được đăng sở hữu trên vinaexpress.com.vn.

Bạn đang xem: Phương pháp giải phương trình logarit

A. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ1. $log _afleft( x ight) = log _agleft( x ight)$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylfleft( x ight) = gleft( x ight)\fleft( x ight) ge 0 m left( gleft( x ight) ge 0 ight)endarray ight.$2. $log _afleft( x ight) = b Leftrightarrow fleft( x ight) = a^b.$3. $log _afleft( x ight) > log _agleft( x ight)$ $(*).$+ Nếu $a > 1$ thì $left( * ight) Leftrightarrow left{ eginarraylfleft( x ight) > gleft( x ight)\gleft( x ight) > 0endarray ight.$+ Nếu $0 fleft( x ight) fleft( x ight) > 0endarray ight.$Chú ý: $log _afleft( x ight)$ gồm nghĩa $ Leftrightarrow left{ eginarraylfleft( x ight) > 0\0 endarray ight.$B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITDạng 1. đổi thay đổi, quy về thuộc cơ sốPhương pháp:$log _afleft( x ight) = log _agleft( x ight)$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayl0 fleft( x ight) = gleft( x ight) > 0endarray ight.$Phương trình logarit cơ bản: $log _ax = b$, $left( {0 * $log _ax = b Leftrightarrow x = a^b$, $left( {0 * $lg x = b Leftrightarrow x = 10^b$, $ln x = b Leftrightarrow x = e^b$.

Ví dụ 1. Giải những phương trình:1. $log _25left( 4x + 5 ight)^2 + log _5x = log _327.$2. $log _2x + log _3x + log _4x = log _20x.$

1. Điều kiện: $x > 0.$Phương trình đã mang đến trở thành: $log _5left( 4x + 5 ight) + log _5x = 3$ $ Leftrightarrow log _5(4x^2 + 5x) = 3$ $ Leftrightarrow 4x^2 + 5x = 125$ $ Leftrightarrow x = 5$ hoặc $x = frac254.$Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 5$ hoặc $x = frac254.$2. Điều kiện $x > 0.$ Bài toán áp dụng công thức thay đổi cơ số $log _ax = fraclog _bxlog _ba.$Phương trình đã đến $ Leftrightarrow log _2x + fraclog _2xlog _23 + fraclog _2xlog _24 = fraclog _2xlog _220$$ Leftrightarrow log _2xleft( 1 + frac1log _23 + frac1log _24 – frac1log _220 ight) = 0$ $ Leftrightarrow log _2x = 0 Leftrightarrow x = 1.$Vậy, phương trình đã cho bao gồm nghiệm $x = 1.$Chú ý: hình như bài toán trên ta hoàn toàn có thể dùng bí quyết $log _ax = fracln xln a$ sẽ giải quyết nhanh gọn với đẹp hơn.

Xem thêm: Tạo Tên Liên Quân Đẹp Cho Nữ ❤️️250+ Tên Lq Cho Nữ Hay Cá Tính

Ví dụ 2. Giải phương trình: $log _3left( x – 2 ight)^2 + log _sqrt 3 fracxx^2 – 3x + 3 = 0.$

Điều kiện: $0 Phương trình đã cho viết lại $log _3left( x – 2 ight)^2 + log _3left( fracxx^2 – 3x + 3 ight)^2 = 0$$ Leftrightarrow log _3left< left( x – 2 ight)^2.left( fracxx^2 – 3x + 3 ight)^2 ight> = 0$$ Leftrightarrow left( x – 2 ight)^2.left( fracxx^2 – 3x + 3 ight)^2 = 1.$Giải phương trình này ta được $x = 1, x = frac32, x = 3.$

Ví dụ 3. Giải phương trình: $log _2left( 8 – x^2 ight)$ $+ log _frac12left( sqrt 1 + x + sqrt 1 – x ight) – 2 = 0.$

Với $x in left< – 1;1 ight>$ phương trình đã mang đến viết lại: $log _2left( 8 – x^2 ight)$ $ = 2 + log _2left( sqrt 1 + x + sqrt 1 – x ight)$$ Leftrightarrow 8 – x^2 = 4left( sqrt 1 + x + sqrt 1 – x ight)$ $(*).$Đặt $t = sqrt 1 + x + sqrt 1 – x $, phương trình $(*)$ trở thành: $left( mt – m2 ight)^ m2left( mt^ m2 + m4t + m8 ight) = 0$, phương trình này có nghiệm $t = 2$ hay $sqrt 1 + x + sqrt 1 – x = 2$. Bình phương $2$ vế với rút gọn ta được $x = 0.$

Ví dụ 4. Giải phương trình: $lg sqrt 1 + x + 3lg sqrt 1 – x – 2 = lg sqrt 1 – x^2 .$

Điều kiện: $left{ eginarrayl1 + x > 0\1 – x > 0\1 – x^2 > 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow – 1 Để ý: $lg sqrt 1 – x^2 = lg sqrt 1 + x sqrt 1 – x $ $ = lg sqrt 1 + x + lg sqrt 1 – x .$Phương trình đã mang lại $ Leftrightarrow lg sqrt 1 + x + 3lg sqrt 1 – x – 2$ $ = lg sqrt 1 + x + lg sqrt 1 – x $$ Leftrightarrow lg sqrt 1 – x = 1$ $ Leftrightarrow sqrt 1 – x = 10$ $ Leftrightarrow 1 – x = 100 Leftrightarrow x = – 99.$Kết phù hợp với điều kiện suy ra phương trình vô nghiệm.

Xem thêm: Top 10 Nhân Vật Mạnh Nhất Marvel Hiện Nay 2023, Top 10 Thực Thể Mạnh Nhất Marvel

Dạng 2. Đặt ẩn phụPhương pháp: $fleft< log _agleft( x ight) ight> = 0$ $left( {0 t = log _agleft( x ight)\fleft( t ight) = 0endarray ight.$Ta để ý công thức đổi cơ số: $log _bx = fraclog _axlog _ab$ $ Rightarrow log _ab = frac1log _ba$ $forall a, b, x > 0; a, b e 1.$

Ví dụ 5. Giải những phương trình:1. $log _2x + sqrt 10log _2x + 6 = 9.$2. $sqrt log _9x + 1 + sqrt log _3x + 3 = 5.$3. $4^log _22 mx – x^log _26 = 2.3^log _24x^2.$

1. Điều kiện: $x > 0$ và $10log _2x + 6 ge 0.$Đặt $t = log _2x$, phương trình sẽ cho đem lại dạng: $sqrt 10t + 6 = 9 – t$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayl9 – t ge 0\10t + 6 = left( 9 – t ight)^2endarray ight.$ từ trên đây ta tra cứu được $t = 3$ tức $x = 8.$Vậy, phương trình cho bao gồm nghiệm $x = 8.$2. Điều kiện: $x > 0$ và $log _3x + 3 ge 0,$ $log _9x + 1 ge 0.$Đặt $t = log _3x$, phương trình đã mang đến về dạng $sqrt frac12t + 1 + sqrt t + 3 = 5$ $(1).$Với điều kiện $t ge – 2$, bình phương nhị vế của $(1)$ cùng rút gọn ta được: $sqrt frac12t^2 + frac52t + 3 = 21 – frac32t$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayl– 2 le t le 14\t^2 – 292t + 1716 = 0endarray ight.$ $⇒t = 6$ tức $x = 64.$Vậy, phương trình cho bao gồm nghiệm $x = 64.$3. Điều kiện: $x > 0.$Phương trình đã đến $ Leftrightarrow 4^1 + log _2x – 6^log _2x = 2.3^2 + 2log _2x$ $ Leftrightarrow 4.4^log _2x – 6^log _2x – 18.9^log _2x = 0$ $ Leftrightarrow 4.left( frac23 ight)^log _2x – left( frac23 ight)^log _2x – 18 = 0.$Đặt $t = left( frac23 ight)^log _2x, t > 0$, ta có: $4t^2 – t – 18 = 0 Leftrightarrow t = frac94$ $ Leftrightarrow left( frac23 ight)^log _2x = frac94 = left( frac23 ight)^ – 2$ $ Leftrightarrow log _2x = – 2 Leftrightarrow x = frac14.$Vậy, phương trình vẫn cho bao gồm nghiệm $x = frac14.$

Ví dụ 6. Giải phương trình: $log _2xleft( x – 1 ight)^2$ $ + log _2x.log _2left( x^2 – x ight) – 2 = 0.$

Điều kiện: $x > 1.$Biến thay đổi phương trình về dạng:$log _2fracleft( x^2 – x ight)^2x$ $ + log _2x.log _2left( x^2 – x ight) – 2 = 0$$ Leftrightarrow 2log _2left( x^2 – x ight) – log _2x$ $ + log _2x.log _2left( x^2 – x ight) – 2 = 0$ $(*).$Đặt $u = log _2left( x^2 – x ight)$ và $v = log _2x.$ Đưa phương trình $(*)$ về phương trình:$left( u – 1 ight)left( v + 2 ight) = 0$$ Leftrightarrow u = 1$ hoặc $v = – 2.$+ Với $u = 1$ thì $log _2left( x^2 – x ight) = 1$ $ Leftrightarrow x^2 – x = 2 Leftrightarrow x = 2.$+ Với $v = – 2$ thì $log _2x = – 2 Leftrightarrow x = frac14$ (không thỏa mãn nhu cầu điều kiện).Vậy, phương trình vẫn cho gồm nghiệm $x = 2.$

Dạng 3. đổi khác phương trình về dạng tíchPhương pháp: $fleft( x ight).gleft( x ight) = 0 m $ $ Leftrightarrow fleft( x ight) = 0$ hoặc $gleft( x ight) = 0.$

Ví dụ 7. Giải phương trình: $log _3x + log _4x = log _5x.$

Dễ thấy: $log _4x = log _43.log _3x$, $log _5x = log _53.log _3x.$Với $x > 0$. Phương trình được viết bên dưới dạng:$log _3x + log _43.log _3x = log _53.log _3x$ $ Leftrightarrow log _3x = 0 Leftrightarrow x = 1.$Vậy, phương trình đang cho tất cả nghiệm $x = 1.$

Ví dụ 8. Giải những phương trình:1. $log _5xfrac5x + log _5^2x = 1.$2. $log _x^216 + log _2x64 = 3 m .$

1. Điều kiện: $0 Phương trình đã mang đến $ Leftrightarrow fraclog _5frac5xlog _55x + log _5^2x = 1$ $ Leftrightarrow frac1 – log _5x1 + log _5x + log _5^2x = 1$$ Leftrightarrow log _5x(log _5^2x + log _5x – 2) = 0$ $ Leftrightarrow log _5xleft( log _5x – 1 ight)left( log _5x + 2 ight) = 0$$ Leftrightarrow left< eginarrayllog _5x = 0\log _5x = 1\log _5x = – 2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = 1\x = 5\x = 5^ – 2endarray ight.$Vậy phương trình có bố nghiệm: $x = 1; x = 5; x = frac125.$2. Điều kiện: $0 Phương trình đã cho $ Leftrightarrow fraclog _216log _2x^2 + fraclog _264log _22x = 3$ $ Leftrightarrow frac2log _2x + frac61 + log _2x = 3$$ Leftrightarrow 3log _2^2x – 5log _2x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left( log _2x – 2 ight)left( 3log _2x + 1 ight) = 0$$ Leftrightarrow left< eginarrayllog _2x = 2\log _2x = – frac13endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = 4\x = frac1sqrt<3>2endarray ight.$Vậy phương trình sẽ cho bao gồm hai nghiệm: $x = 4; x = frac1sqrt<3>2.$

Dạng 4. Phương thức đồ thịPhương pháp:Giải phương trình: $log _ax = fleft( x ight)$ $left( {0 $(*)$ là phương trình hoành độ giao điểm của $2$ đồ gia dụng thị $y = log _ax$ $left( {0 + cách 1: Vẽ đồ gia dụng thị các hàm số: $y = log _ax$ $left( {0 + bước 2: tóm lại nghiệm của phương trình đã cho rằng số giao điểm của đồ gia dụng thị.

Ví dụ 9. Giải phương trình: $log _3left< left( x + 1 ight)^3 + 3left( x + 1 ight)^2 + 3x + 4 ight>$ $ = 2log _2left( x + 1 ight).$

Điều kiện: $x > – 1.$Phương trình sẽ cho tương đương $log _3left( x + 2 ight)^3 = 2log _2left( x + 1 ight)$ hay $3log _3left( x + 2 ight) = 2log _2left( x + 1 ight).$Đặt $3log _3left( x + 2 ight) = 2log _2left( x + 1 ight) = 6t$ suy ra $left{ eginarray*20cx + 2 = 3^2t\x + 1 = 2^3tendarray ight. Rightarrow 9^t – 8^t = 1$, tức $left( frac19 ight)^t + left( frac89 ight)^t = 1$ $(*).$Xét hàm $fleft( t ight) m = left( frac19 ight)^t + left( frac89 ight)^t$, ta thấy hàm $fleft( t ight)$ nghịch biến, lại sở hữu $fleft( 1 ight) = 1$ nên $t = 1$ là nghiệm duy nhất của $(*).$Vậy, phương trình đã cho gồm nghiệm duy nhất $x = 7.$

Ví dụ 10. Giải phương trình: $log _2left( x + 3^log _6x ight) = log _6x.$

Đặt $t = log _6x Rightarrow x = 6^t.$ Phương trình đã cho trở thành: $6^t + 3^t = 2^t$, chia cả $2$ vế cho $2^t.$Xét hàm số $fleft( t ight) = 3^t + left( frac32 ight)^t – 1$, vì $3 > frac32 > 1$ nên $fleft( t ight)$ tăng và $fleft( – 1 ight) = 0$, vì đó $fleft( t ight) = 0$ xảy ra khi $t = – 1$ tức $x = frac16.$Vậy, phương trình đang cho có nghiệm $x = frac16.$

Ví dụ 11. Giải phương trình: $left( 3x – 5 ight)log _3^2x$ $ + left( 9x – 19 ight)log _3x – 12 = 0.$

Điều kiện: $x > 0.$Đặt $t = log _3x,$ phương trình trở thành: $left( 3x – 5 ight)t^2 + left( 9x – 19 ight)t – 12 = 0.$Khi $x = frac53$, phương trình vô nghiệm.Khi $x e frac53$, ta có: $Delta = left( 9x – 11 ight)^2$, khi kia phương trình bao gồm $2$ nghiệm $t = – 3$ hoặc $t = frac43x – 5.$+ Với $t = – 3$ tức $log _3x = – 3$ $ Leftrightarrow x = 3^ – 3 = frac127.$+ Với $t = frac43x – 5$ tức $log _3x = frac43x – 5$. Xét hàm số: $fleft( x ight) = log _3x – frac43x – 5$ với $0 Ta có: $f’left( x ight) = frac1xln 3 + frac12left( 3x – 5 ight)^2 > 0$, với mọi $0 $mathop lim limits_x o + infty fleft( x ight) = + infty $, $mathop lim limits_x o left( frac53 ight)^ – fleft( x ight) = + infty $, $mathop lim limits_x o left( frac53 ight)^ + fleft( x ight) = – infty .$Lập bảng biến chuyển thiên, thường thấy phương trình $fleft( x ight) = 0$ luôn gồm $2$ nghiệm phân biệt, rộng nữa $fleft( 3 ight) = fleft( frac13 ight) = 0$ nên phương trình $fleft( x ight) = 0$ luôn có $2$ nghiệm $x = frac13$ hoặc $x = 3.$Vậy, phương trình bao gồm $3$ nghiệm: $x in left frac127;frac13;3 ight.$

Dạng 5. Giải bất phương trình logaritVí dụ 12. Giải bất phương trình:1. $log _2left( sqrt 3x + 1 + 6 ight) – 1$ $ ge log _2left( 7 – sqrt 10 – x ight).$2. $log _2frac5 – 12x12x – 8 + log _frac12x le 0.$

1. Điều kiện: $left{ eginarrayl3x + 1 ge 0\10 – x ge 0\7 – sqrt 10 – x > 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow – frac13 le x le 10.$Bất phương trình tương đương với $log _2fracsqrt 3x + 1 + 62$ $ ge log _2left( 7 – sqrt 10 – x ight)$$ Leftrightarrow sqrt 3x + 1 + 6 ge 2left( 7 – sqrt 10 – x ight)$$ Leftrightarrow sqrt 3x + 1 + 2sqrt 10 – x ge 8$$ Leftrightarrow m49 mx^ m2– m 418x + m 369 le m 0$$ Leftrightarrow m1 le m x le frac36949$ (thoả điều kiện).Vậy, bất phương trình sẽ cho có nghiệm $ m1 le m x le frac36949.$

2. Bất phương trình sẽ cho tương đương với $left{ eginarraylfrac5 – 12x12x – 8 le x\frac5 – 12x12x – 8 > 0endarray ight.$$ Leftrightarrow left{ eginarraylfrac – 12x^2 – 4x + 512x – 8 le 0\frac5 – 12x12x – 8 > 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylleft< eginarrayl– frac56 le x le frac12\x > frac23endarray ight.\frac512 endarray ight.$ $ Leftrightarrow frac512 Vậy, bất phương trình sẽ cho tất cả nghiệm $frac512